等腰梯形的对角线。梯形的中位数是多少。梯形的种类。空中飞人是

梯形是四边形的特例，其中一对边平行。 “梯形”一词来自希腊词τράπεζα，意思是“桌子”、“桌子”。在本文中，我们将考虑梯形的类型及其特性。此外，我们将弄清楚如何计算这个几何图形的各个元素。例如，等腰梯形的对角线、中线、面积等。材料以基本流行几何的风格呈现，即以易于访问的形式。

一般信息

首先，让我们弄清楚什么是四边形。该图是包含四个边和四个顶点的多边形的特殊情况。四边形中不相邻的两个顶点称为对边。关于两个不相邻的边也可以这样说。四边形的主要类型有平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形和三角肌。

所以，回到梯形。正如我们已经说过的，这个图形有两条平行的边。它们被称为基地。另外两个（非平行）是边。在考试和各种测试的材料中，经常可以找到与梯形相关的任务，而梯形的解决往往需要学生掌握程序没有提供的知识。学校几何课程向学生介绍角度和对角线的属性，以及等腰梯形的中线。但毕竟，除此之外，提到的几何图形还有其他的特点。不过稍后再详细介绍……

梯形的种类

这个图的种类很多。但是，通常习惯上考虑其中两个 - 等腰和矩形。

1。矩形梯形是其中一个边垂直于底边的图形。她的两个角总是九十度。

2。等腰梯形是边相等的几何图形。这意味着底角也成对相等。

梯形特性研究技术的主要原理

主要原理就是使用所谓的任务方式。事实上，没有必要将这个图形的新性质引入几何理论课程。它们可以在解决各种问题的过程中发现和制定（优于系统问题）。同时，老师知道需要什么任务也很重要。在教育过程中的某一时刻出现在学童面前。而且梯形的每个属性都可以表示为任务系统中的一个关键任务。

第二个原理就是所谓的螺旋组织研究梯形的“显着”性质。这意味着在学习过程中回归给定几何图形的各个特征。因此，学生更容易记住它们。比如四个点的属性。它可以在相似性研究中得到证明，随后在向量的帮助下得到证明。并且与图形边相邻的三角形的面积相等，不仅可以应用在同一直线上的边绘制等高三角形的性质，而且可以使用公式 S=1/ 2（absinα）。此外，还可以在内接梯形上求正弦定理，在外接梯形上求直角三角形等。

在学校课程的内容中使用几何图形的“课外”特征是一种用于教授几何图形的任务技术。在通过其他主题时不断吸引所研究的属性，使学生能够更深入地了解梯形并确保成功解决任务。那么，让我们开始研究这个精彩的人物吧。

等腰梯形的元素和性质

正如我们已经注意到的，这个几何图形的边是相等的。它也被称为右梯形。为什么它如此了不起，为什么它会得到这样的名字？该图的特征包括不仅底部的边和角相等，而且对角线也相等。此外，等腰梯形的角和是 360 度。但这还不是全部！在所有已知的梯形中，只有围绕等腰线可以描述一个圆。这是因为这个图形的对角之和是180度，只有在这个条件下，才能围绕四边形描述一个圆。所考虑的几何图形的下一个属性是，从基础顶点到相对顶点在包含该基础的线上的投影的距离将等于中线。

现在让我们弄清楚如何找到等腰梯形的角度。考虑这个问题的解决方案，前提是图形边的尺寸是已知的。

决定

通常，四边形通常用字母A、B、C、D表示，其中BS和AD是底边。在等腰梯形中，边相等。我们将假设它们的大小是 X，并且碱基的大小是 Y 和 Z（分别更小和更大）。为了进行计算，需要从角 B 绘制一个高度 H。结果是一个直角三角形 ABN，其中 AB 是斜边，BN 和 AN 是腿。我们计算腿的大小 AN：我们从较大的底中减去较小的，然后将结果除以 2。我们将其写成公式的形式：(Z-Y) / 2 \u003d F。现在，要计算三角形的锐角，我们使用 cos 函数。我们得到以下记录：cos(β)=Х/F。现在我们计算角度：β=arcos (Х/F)。此外，知道一个角度，我们可以确定和其次，为此我们执行一个基本的算术运算：180 - β。所有的角都被定义了。

这个问题还有第二种解决方法。一开始，我们从角 B 降低高度 H。我们计算 BN 腿的值。我们知道直角三角形的斜边的平方等于两条边的平方和。我们得到：BN \u003d √ (X2-F2)。接下来，我们使用三角函数 tg。因此，我们有： β=arctg (BN / F)。发现尖角。接下来，我们定义一个钝角，类似于第一种方法。

等腰梯形对角线的性质

首先，让我们写下四个规则。如果等腰梯形的对角线垂直，则：

-图形的高度将等于底数之和除以二；

-它的高度和中线相等；

-梯形的面积将等于高的平方（中线，底数之和的一半）；

-对角线的平方等于底数和的平方的一半或中线平方的两倍（高）。

现在考虑确定等腰梯形对角线的公式。这块信息可以有条件地分为四部分：

1。对角线的边长公式。

我们接受A是下底，B是上底，C是等边，D是对角线。在这种情况下，长度可以确定如下：

D=√(C2+AB).

2。根据余弦定理计算对角线长度的公式。

我们接受A为下底，B为上底，C为等边，D为对角线，α（下底）和β（上底）- 梯形角度。我们得到以下公式，您可以使用这些公式计算对角线的长度：

- D=√(A2+C2-2ACcosα);

- D=√(A2+C2-2ACcosβ);

- D=√(B2+C2-2BCcosβ);

- D=√(B2+C2-2BCcosα).

3。等腰梯形的对角线长度公式

我们接受A是下底，B是上底，D是对角线，M是中线，H是高，P是梯形的面积，α和β是对角线之间的角度。使用以下公式确定长度：

- D=√(M2+H2);

- D=√(H2+(A+B)2/4);

- D=√(N(A+B)/sinα)=√(2P/sinα)=√(2MN/sinα).

对于这种情况，等式成立：sinα=sinβ.

4。对角线的长度和高度的公式。

我们接受A是下底，B是上底，C是边，D是对角线，H是高度，α是下底的角度。

使用以下公式确定长度：

- D=√(Н2+(А-Рctgα)2);

- D=√(Н2+(В+Рctgα)2);

- D=√(A2+C2-2A√(C2-H2)).

矩形梯形的元素和属性

我们来看看这个几何图形有什么有趣的地方。正如我们所说，一个长方形梯形有两个直角。

除了经典的定义，还有其他的。例如，矩形梯形是一侧垂直于底边的梯形。或侧面有直角的图形。这梯形的类型，高度等于边，边垂直于底边。中线是连接两侧中点的线段。上述元素的特性是它与底平行，等于它们总和的一半。

现在让我们看看定义这个几何图形的基本公式。为此，我们假设 A 和 B 是碱基； C（垂直于底边）和 D - 矩形梯形的边，M - 中线，α - 锐角，P - 面积。

1。垂直于底边的侧边等于图形的高度（C \u003d H），等于第二边的长度 D 与较大底边角 α 的正弦的乘积（ C \u003d Dsin α）。此外，它等于锐角α的切线与底差的乘积：С=(А-Б)tgα.

2。侧边 D（不垂直于底边）等于 A 和 B 的差值与锐角的余弦 (α) 的商或图形 H 的高度与锐角的正弦的商: D \u003d (A-B) / cos α \u003d C / sin α.

3。垂直于底边的侧边等于平方 D 之差的平方根 - 第二边 - 与底边之差的平方：

C=√(D2-(A-B)2).

4。矩形梯形的 D 边等于 C 边的平方和与几何图形底差的平方的平方根：D=√(C2+(A-B)2).

5。侧边C等于双面积除以其底之和的商：C \u003d P / M \u003d 2P / (A + B)。

6。面积由 M（矩形梯形的中线）与高度或边，垂直于底边：P \u003d MN \u003d MS.

7。 C边等于图形面积的两倍除以锐角的正弦乘以它的底数之和的商：C \u003d P / Msinα \u003d 2P / ((A + B)sinα).

8。一个长方形梯形的边的对角线及其夹角的公式：

- sinα=sinβ;

- S=(D1D2/(A+B))sinα=(D1D2/(A+B))sinβ, 其中D1和D2是梯形的对角线； α和β是它们之间的角度。

9。通过下底角和其他边角的侧边公式：D \u003d (A-B) / cosα \u003d C / sinα \u003d H / sinα。

由于直角梯形是梯形的特例，其余定义这些图形的公式也将对应一个矩形。

内切圆的属性

如果条件是圆内接在矩形梯形中，那么可以使用以下属性：

-底数之和等于边数之和；

-矩形图形的顶点到内接圆的触点的距离总是相等的；

-梯形的高等于边，垂直底边，等于圆的直径；

-圆心是角平分线的交点；

-如果侧面被接触点分成H段和M段，那么圆的半径等于这些段乘积的平方根；

- 由切点、梯形的顶点和内切圆的圆心组成的四边形是边长等于半径的正方形；

-图形的面积等于底的乘积加上底和高的一半的乘积。

类似梯形

这个题目很方便研究这个几何图形的性质。例如，对角线将梯形分成四个三角形，与底相邻的相似，与边相邻的相等。这个陈述可以被称为梯形被它的对角线分割成的三角形的一个性质。这个断言的第一部分是通过两个角度的相似性标准来证明的。为了证明第二部分，最好使用下面的方法。

定理证明

我们接受图形ABSD（AD和BS是梯形的底）除以对角线VD和AC。它们的交点是 O。我们得到四个三角形：AOS - 在下底，BOS - 在上底，ABO 和 SOD 在边上。如果线段 BO 和 OD 是三角形 SOD 和 BOS 的底边，那么三角形 SOD 和 BOS 的高度相同。我们得到它们面积之间的差异（P）等于这些段之间的差异：PBOS / PSOD=BO / OD=K。因此，PSOD=PBOS / K。类似地，BOS 和 AOB 三角形具有共同的高度。我们以细分市场 CO 和 OA 为基础。我们得到 PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K 和 PAOB \u003d PBOS / K。由此得出 PSOD=PAOB.

为了巩固材料，建议学生通过解决以下问题，在得到的三角形区域之间找到连接，梯形被它的对角线分割成这些区域。众所周知三角形BOS和AOD面积相等，需要求梯形的面积。由于 PSOD \u003d PAOB，这意味着 PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2PSOD。从三角形 BOS 和 AOD 的相似性可以得出 BO / OD=√ (PBOS / PAOD)。因此，PBOS/PSOD=BO/OD=√(PBOS/PAOD)。我们得到 PSOD=√ (PBOSPAOD)。那么PABSD=PBOS+PAOD+2√(PBOSPAOD)=(√PBOS+√PAOD)2.

相似属性

继续发展这个话题，我们可以证明梯形的其他有趣特征。因此，使用相似性，您可以证明通过该几何图形的对角线交点形成的点的线段的属性，该点平行于底。为此，我们解决以下问题：需要找到通过点 O 的线段 RK 的长度。根据三角形 AOD 和 BOS 的相似性，可以得出 AO/OS=AD/BS。从三角形 AOP 和 ASB 的相似性来看，AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD)。从这里我们得到 RO \u003d BSAD / (BS + AD)。类似地，从三角形 DOK 和 DBS 的相似性，可以得出 OK \u003d BSAD / (BS + AD)。从这里我们得到 RO=OK 和 RK=2BSAD/(BS+AD)。通过对角线交点、平行于底并连接两侧的线段被交点一分为二。它的长度是图形底的调和平均值。

考虑梯形的以下性质，称为四点性质。对角线的交点 (O)、边的延长线的交点 (E) 以及底的中点 (T 和 W) 始终位于同一直线上。这很容易用相似度法证明。生成的三角形 BES 和 AED 是相似的，并且在它们中的每一个，中线 ET 和 EZH 将顶点 E 处的角度分成相等的部分。因此，点 E、T 和 W 位于同一直线上。同理，T、O、G三点位于同一直线上，这一切都源于三角形BOS和AOD的相似性。由此我们得出结论，所有四个点 - E、T、O 和 W - 都将位于一条直线上。

使用相似的梯形，可以要求学生找到将图形分成两个相似部分的线段（LF）的长度。该段应与底座平行。由于得到的梯形 ALFD 和 LBSF 相似，所以 BS/LF=LF/AD。因此LF=√(BSBP)。我们得到将梯形分成两个相似的部分的长度等于图形底边长度的几何平均值。

考虑以下相似性。它基于将梯形分成两个大小相等的图形的段。我们接受梯形 ABSD 被段 EN 分成两个相似的部分。从顶点 B 开始，高度被省略，它被线段 EH 分成两部分 - B1 和 B2。我们得到：PABSD / 2 \u003d (BS + EH)B1 / 2 \u003d (AD + EH)B2 / 2 和 PABSD \u003d (BS + HELL)(B1 + B2) / 2。接下来，我们组成一个系统，其第一个方程为 (BS + EH)B1 \u003d (AD + EH)B2 和第二个方程 (BS + EH)B1 \u003d (BS + HELL)(B1 + B2) / 2.因此 B2/B1=(BS+EN)/(AD+EN) 并且 BS+EN=((BS+AD)/2)(1+B2/ B1)。我们得到将梯形分成两个相等的段的长度等于底的长度的均方根：√((BS2+AD2)/2).

相似性推断

因此，我们证明了：

1。连接梯形侧面中点的线段平行于AD和BS，等于BS和BP的算术平均值（梯形底边的长度）。

2。通过平行于AD和BS的对角线交点O的直线将等于AD和BS数的调和平均值(2BSAD/(BS+AD))。

3。将梯形划分为相似的部分的长度为底 BS 和 AD 的几何平均长度。

4。将图形分成两个相等的元素具有均方数AD和BS的长度。

为了巩固材料并理解所考虑的部分之间的联系，学生需要为特定的梯形构建它们。他可以很容易地显示中线和通过点 O 的线段 - 图形对角线的交点 - 平行于底边。但是第三和第四会在哪里呢？这个答案将引导学生发现平均值之间的期望关系。

连接梯形对角线中点的线段

考虑该图的以下属性。我们接受段 MH 平行于底并平分对角线。我们称交点 W 和 W 为交点。该段将等于碱基的半差。让我们更详细地分析一下。 MSH--三角形ABS的中线，等于BS/2。 MS--三角形ABD的中线，等于AD/2。然后我们得到ShSh=MSh-MSh，因此，ShSh=AD/2-BS/2=(AD+VS)/2.

重心

让我们看看这个元素是如何为给定的几何图形定义的。为此，有必要在相反的方向上扩展底座。这是什么意思？有必要将下基地添加到上基地 - 在例如，右侧。底部向左延伸顶部的长度。接下来，我们用对角线连接它们。这条线段与图中中线的交点就是梯形的重心。

内接外接梯形

我们来列举一下这类人物的特点：

1。梯形只有等腰才能内接圆。

2。梯形可以围绕一个圆来描述，前提是它们的底边的长度之和等于边的长度之和。

内切圆的后果：

1。外接梯形的高度总是等于两个半径。

2。从圆心直角观察外接梯形的侧面。

第一个推论是显而易见的，但要证明第二个推论，需要确定SOD角度是正确的，实际上这也不难。但是了解这个属性将允许在解决问题时使用直角三角形。

现在我们为等腰梯形指定这些结果，该梯形内接在一个圆中。我们得到高度是图形底的几何平均值：H=2R=√(BSAD)。练习解决梯形问题的主要技巧（绘制两个高度的原则），学生必须解决以下任务。我们接受 BT 是等腰图形 ABSD 的高度。有必要找到段 AT 和 TD。使用上面的公式，这应该不难。

现在让我们弄清楚如何使用外接梯形的面积来确定圆的半径。从顶点 B 下降高度到血压的基础。由于圆内接梯形，则 BS + AD \u003d 2AB 或 AB \u003d (BS + AD) / 2。从三角形 ABN 我们发现 sinα=BN / AB=2BN / (BS + AD)。 PABSD \u003d (BS + AD)BN / 2, BN \u003d 2R。我们得到 PABSD \u003d (BS + AD)R，由此得出 R \u003d PABSD / (BS + AD)。